丸いケーキが１つあります。「相手の取り分より少なくもらうのはイヤだ」と考える２人が、このケーキを分配することになりました。さて、両者から文句が出ないように分けるには、どうしたらよいでしょうか。

　この問題は、ケーキを正確に２等分することが主眼ではありません。だから、分度器などの道具も、幾何学の定理を持ち出す必要もありません。あくまでも“２人が納得のいくように分ける”ことが肝心なのです。

　この問題に対する答えは、紀元前から既に知られていたといわれています。それは、「２人のうちの１人（Ａさん）が、自分が２等分だと納得できるようにケーキを切る。そして、もう１人（Ｂさん）が２分割されたケーキの好きな方を選ぶ」という方法です（以下、この方法を古典的方法と呼ぶことにします）。こうすると、Ｂさんは好きな方を選べるので、自分の取り分は半分より小さいと文句を言うことはできません。また、Ａさんは「自分が２等分だ」と思うように２つに切り分けたのだから、切ったケーキのどちらが自分の取り分になっても、文句が言えないというわけです。

　このような分配の問題は単なる数学の中の問題という以上に、実生活の中でもさまざまな場面で起こりうる興味深い問題です。人数が２人ではなく、３人だったら、４人だったら…、あるいは、分ける対象がケーキという単一のものではなく、複数の孫たちが思い入れのある形見の品々を分配するとしたら…といった具合に、さまざまなバリエーションが考えられます。

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　人数が３人だったら、どう分ければよいか。これについては、いくつかの方法が考えられていますが、一番古い記述は１９４４年の、ポーランドの数学者、フーゴ・シュタインハウスによる次の方法だとされています。

　（１）Ａ、Ｂ、Ｃの３人の中の１人Ａが、ケーキを１／３の量（これをＺとします）と２／３の量になるように分ける。

　（２）ＢはＺを見て、それがケーキの１／３以下の量だと思うなら何もしない。１／３より大きいと思うのなら１／３になるようにＺを削り、１／３にしたものをＺ’とし、削ったケーキは傍らに置いておく。

　（３）ＣはＺまたはＺ’を見て、それが１／３以上だと思うなら自分の取り分にし、１／３未満だと思うなら取らない。

　（４）（イ）（ＣがＺまたはＺ’を取った場合）

　ＡとＢの２人は残されたケーキ（削って傍らに置かれたものがあれば、それも含める）を古典的方法で分配する。

　　（ロ）（ＣがＺ’を取らずＢがＺを削ってＺ’にしていた場合）

　ＢがＺ’を自分の取り分にし、残されたケーキについてＡとＣの２人が古典的方法で分配する。

　　（ハ）（ＣがＺを取らず、ＢがＺを削っていない場合）

　ＡがＺを自分の取り分にし、残されたケーキ（傍らに置かれたものも含める）についてＢとＣの２人が古典的方法で分配する。

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　この方法が、３人が文句のいえない分配方法になっていることは各自確かめてください。この方法以外にも、こんな方法もあります。

　（１）ＡとＢが古典的方法で、ケーキを２分し、互いに１／２以上と思う量を取り分にする。

　（２）Ａ、Ｂそれぞれが、自分の取り分を３等分と思う量に分け、２人それぞれが、そのなかのひとつをＣに選んで取ってもらう。

　これも、３人が文句を言えない分配法になっています。しかし、これらの分け方だと、たとえば、Ａは１／３以上の量を確保したとは思っても、Ｃの取り分の方が自分より大きいんじゃないかというねたみが生じる場合があります。それを解消する分け方を考えなければ…と考えた人たちがいました。そのねたみを生まない分配法を最初に考えたのが、１９６０年代初めのジョン・コンウェイとジョン・セルフリッジです。その分配法は難しくはないのですが、書くと長くなるのでここでは割愛します。さらに、１９９５年には、スティーヴン・ブラムスらがｎ人のあいだで分配するねたみを生まない分配法を発表しました。

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　こういった理論をもとにした“当事者たちが納得する財産や資産の公平な分配方法”というものに対して、ニューヨーク大学が特許を取っているのだそうです。そしてアメリカでは、その方法が離婚裁判の際の財産の分配という身近なところから、中東の紛争解決という国際舞台でまで、幅広く活用されていると聞いています。